今日我想共享一个简略的 idea,它既不新颖也不花哨。乃至很多人都有过这个主意。可是不管你有没有这么想过,我都期望你能抽出几分钟和我一同从头感触这个主意。

这个主意是这样的:

主意十分简略,但十分有用。

首要谨慎地归纳这个主意:每个矩阵对应一个加权二分图。所谓「图」是指极点(点)和线的调集;「二分」是点拨有两种不同的类型/色彩;;「加权」是指每条线都有一个数字符号。

上图对应一个 3232 矩阵 M。右侧我画了三个绿点,别离对应矩阵 M 的三行,两个粉点别离对应矩阵 M 的两列。假如对应矩阵 M 中的值非零,就在绿点和粉点间画一条线衔接。

例如,在第二个绿点和榜首个粉点间存在一条线,由于 M_21=4,即矩阵 M 第二行榜首列的值不为 0。此外,我用非零数字符号了这条线。而榜首个绿点和第二个粉点之间没有线衔接,由于矩阵的榜首行第二列值为零。

更清晰的曹海进描绘如下:

任何矩阵 M 都是 nm 个数的数组。当然这是知识。可是这样的数组也能够看作函数 M:XY→R,其间 定北侯是谁X = {x_1,...,x_n},是一组 n 个元素组成的调集;Y = {y_1,...,y_m},是一组 m 个元素组成的调集。实际上,假如要描绘矩阵 M,那么需求描绘第 ij 项的值。换句兰令鸟话说,关于每对 (i,j),都需求给出一个实数 M_ij。这便是函海拉细胞,手把手教你将矩阵&概率画成图,九妹数的功用啊!函数 M:XY→R 相关每对 (x_i,y_j)(假如你乐意,能够去掉字母并鲛人皇后将其看作 (i,j)喜盈新生儿你),即实数 M(x_i,y_j)。所以能够将 M(x_i,y_j) 简写为 M_ij。

看,矩阵便是一种函数。

如前所述,咱们进一步以为 X 的元素是绿点,而 Y 的元素是粉点。然后矩阵 M 以下图方法与加权二分图相对应:图的极点有由 X 和 Y 供给的两种不同色彩,而且每个 x_i 和 y_j 之间存在连线,连线由数字 M_ij 符号。可是假如数值为零,那就省掉这条边。

每个嵇江良矩阵对应一个图。

当咱们以这种方法可视化矩阵时,奇特的事就发生了。例如...

矩阵乘法即为沿连线向前运算。

给定两个矩阵(图)M:XY→R 和 N:YZ→R,咱们能够经过将它们的图拼在一同并沿着连线进行乘法运算:MN 的第 ij 项的输入,即衔接 x_i 到 z_j 的线的值,是经过将沿 x_i 到 z_j 的各个边相乘并加和得到的。例如:

对称矩阵对应对称图。

假如一个矩阵等于它快播的转置,即为对称矩阵。这种对称性常经过矩阵对角线映射得到。但现在能够从图中观察到对称性。特别关于任何矩阵 M 来说,下图直观地解说了,为什么 Mxp3viewerM^⊤和 M^⊤M 一直对称!

若矩阵一切项都非零,则对应彻底二分图。

假如一个矩阵的一切元素都不为零,那么它对应的图就没有缺失的连线。这意味着 X 中的每个点都与 Y 的每个点相连。这样的二分图称为彻底二分图。

N 分块矩阵对应独立的 N 个图。

具体来说,由直和得到的分块矩阵对应断开的图。将两个矩阵做直和运算得到更大的数组(与向量直和运算相似),即一个带有全零块的大型分块矩阵。分块矩阵的图经过将原矩阵的图叠加得到。

关于矩阵和图咱们能打开更多的评论,但我想经过一个不同的视点来评论。现实证明,概率十分合适咱们矩阵-图的评论。这是经过另一个风趣的小现实来完成的:

例如:

这样的概率分布图曼陀sp能够让咱们更好地剖析。

联合概率

经过架构图中的连线,能够得到联合概率:(x_i,y_j) 的概率海拉细胞,手把手教你将矩阵&概率画成图,九妹是衔接 x,y 两点的线的标签。

边际概率

边际概率是经过沿矩阵的行/列求和得到的(与上图等效)。例如,x_1 的概率 p(x_1)=p(x_1,y_1)+p(x_1,y_2)=1/海拉细胞,手把手教你将矩阵&概率画成图,九妹8+0,这是榜首行的总和。相同,y_2 的概率是 p(y_2)=p(x_1,y_2)+p(x_2,y_2)+p(x_3,y_2)=0+1/8+1/4,是第二列的和。

图中,x_i 的边际概率是以 x_i 为极点的一切连线的和。相似地首席老公小娇妻,y_j 的边际概率是以 y_j 为极点的一切连线的和资生堂紧迫召回。

条件概率

条件概率是由联合概率除以边际概率得到的。例如在 y_2 条件下 x_3 的概率 p(x_3|y_2)=p(x_3,y_2)/p(y_2)。从图中能够看出,camgirl这是经过将 x_3 和 y_2 的连线除以一切与 y_2 相连的线之和得到的。相同,y_i 下 x_j 的条件概率是两点连线的值除以一切与 x_j 相连的线之和。海拉细胞,手把手教你将矩阵&概率画成图,九妹

这很简略,对吧?

这里边的原理并不杂乱,仅仅有时用新视点看旧主意是很有用的。

联络矩阵

本文的最终是另一个简略而风趣的现实,即:矩阵运算在交流环(com女战士战胜municative ring)上是有意义的。不仅仅是像 R 或 C 等。矩阵相乘乃至不需求负数:矩阵运算在交流半环上是有意义的!(半环是一个没有相反数的环。)

我以为这很好,由于包含两个元素 Z_2 = {0,1} 的调集经过下图的加法和乘法构成一个半环:

为什么会这么好?由于一个矩阵 M:XY→Z_2 相当于一个「联络」。「关海拉细胞,手把手教你将矩阵&概率画成图,九妹系」是笛卡尔积 XY 的子集 R 的称号。换句话说,每个 Z_2-valued 矩阵界说了一个「联络」,每个联络又界说了一个 Z_2-valued 矩阵:当且仅当 (x_i,y_j) 是 R 子集的元素时,M_ij=1,不然 M_ij=0。

Z_2 中的矩阵图与上面评论的图彻底相同,仅仅现在一切连线的值都是 0 或 1。假如权重是 0,那和之前相同,咱们就不画这条连线了。

(趁便说一句,你现在能够问,「已然每个「联络」对应于 Z_2 中的矩阵,那与「等价联络」相对应的矩阵是什么样的?」我离题了....)

经过将根底(半)环从 R 改为 Z_2,咱们改动了解说权重的方法。例如,在上面的概率场景中,咱们能够问,「从 x_1 李金羽和陈蓉成婚照到 y_1 的概率是多少?」答案由对应边的权重而来,在本例中为 12.5%。或许,当矩阵在 Z_2 中取值时,问题变为:「是小学生课间操否可能从 x_海拉细胞,手把手教你将矩阵&概率画成图,九妹1 到 y_1?」假如1x63b连线符号为 1,则为「是」,如李大治果符号为 0 则为「否」。(这个主意现已被屡次解说了)。

重要的是,「联络」的组合恰好是使用了上面的 Z_2 算法的矩阵乘法。换句话说,给定恣意两个联络 R⊂XY 和 S⊂YZ,存在一个新联络 韩国小鱼饼SR⊂XZ,包含一切 (x,z),至少存在一个 y∈Y,其间 (x,y)∈R,(y,z)∈S。这种新联络正是表明 R 和 S 的矩阵乘积所指定的。

这个关于矩阵/海拉细胞,手把手教你将矩阵&概率画成图,九妹联络的小现实肯定是我最喜欢的数学现实之一。一个原因是由于有限集的领域,「联络」很像有限向量空间和线性映射的领域。实际上,它更像是有限维希尔伯特空间的领域。这意味着许多看似不相干的主意忽然变得亲近。这东游到武之憨豆的假日些联络能够愈加精准,这是一个在领域理论界经常被共享的故事。